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Alcune dimostrazioni

a)Dimostra che esiste soltanto un numero reale positivo che elevato al quadrato è uguale a se stesso aumentato di uno.

b)Dimostra che esistono soltanto due numeri reali il cui quadrato è uguale al loro doppio.

c)Dimostra che non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato è uguale a se stesso diminuito di uno.

Problemi

a)La somma tra il quadrato di un numero ed il suo triplo è 4. Calcola il numero.     [ -4;1 ]

b)Trovare un numero naturale sapendo che il prodotto della sua metà con il suo consecutivo è 210. [ -16; 15 ]

c)Trovare due numeri interi consecutivi tali che la somma dei loro quadrati sia 761. [ -20,-19 ];[ 19,20 ]

d)Trova l’età di una persona sapendo che fra due anni la sua età sarà uguale al quadrato della quarta parte dell’età che aveva tre anni fa. [ 23 ]

e)Due automobili partono contemporaneamente per un viaggio di 360 km, che percorrono a velocità costante. La prima automobile, che viaggia ad una velocità di 10 km/h superiore a quella della seconda, arriva mezz’ora prima. Determinare la velocità delle due automobili.

Se incontri delle difficoltà negli svolgimenti, indicale nel commento.
Buon lavoro!

Ho terminato da poco la lettura del libro: La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni di Mario Livio.

Il numero d’oro phi è il soggetto dello studio di Mario Livio. E’un piccolo numero, avvolto da un grande mistero e oggetto di raffinate speculazioni da oltre tremila anni, che ha affascinato non solo i matematici ma anche biologi, artisti, musicisti, storici, architetti, psicologi e perfino mistici. Keplero affermava: “La geometria possiede due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro la divisione di una linea secondo il rapporto estremo e medio. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa”.

Che cosa hanno in comune la disposizione dei petali di rosa e dei semi nelle mele, la forma a spirale di alcune conchiglie, gli ammassi di galassie, un quadro come il “Sacramento dell’Ultima Cena” di Salvador Dalì, i progetti di Le Corbusier (e magari il Partenone o la grande piramide di Giza), e la ’successione di Fibonacci’ (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…, in cui ogni numero è la somma dei due che lo precedono)? Per quanto strano possa sembrare, in queste realtà così disparate si nasconde (o è stato cercato) un numero particolare, una proporzione geometrica scoperta dai pitagorici, definita da Euclide, chiamata - in un trattato di Luca Pacioli illustrato da Leonardo - ‘divina proporzione’ e in seguito nell’Ottocento, ’sezione aurea’. Questo numero, indicato con la lettera greca phi, è 1,6180… E’ un numero irrazionale, cioè non si può esprimere con una frazione e ha infinite cifre decimali prive di sequenze ripetitive. Deriva dalla geometria (è un modo di dividere un segmento in due parti) ma tende a mostrarsi nei luoghi più impensati, e ha affascinato non solo alcune delle migliori menti matematiche di ogni tempo, ma anche biologi, artisti, musicisti, storici, architetti, psicologi, perfino mistici, ed è apparso come un simbolo dell’armonia dell’universo: un universo progettato da un dio matematico. Ha detto Albert Einstein: “Quella del mistero è la più straordinaria esperienza che ci sia dato di vivere. E’ l’emozione fondamentale situata al centro della vera arte e della vera scienza”. In questo libro di esemplare chiarezza e rigore, Mario Livio parla di un mistero e dell’emozione della scoperta. Illustra i miti (sfatandone molti) e la realtà (spesso ancora più singolare) della sezione aurea e mostra il profondo rapporto tra il mondo fisico, le creazioni artistiche intellettuali e la limpida bellezza dei numeri. Continua…

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Sandra Clerico: Inverso (1999), www.sandraclerico.info

Il problema esaminato nel dialogo tra Saxel e Travy, tratto dal romanzo Odile di Raymond Queneau (scorrere la barra laterale), consiste nella possibilità di trovare una formula per risolvere una equazione in una incognita.
1. Per le equazioni di primo grado, la questione è semplice: ogni equazione può essere riportata alla forma “normale” ax+b=0
la cui soluzione è: x=-b/a.
Perciò Saxel afferma che “c’è solo una divisione da fare“.
2. Per le equazioni di secondo grado, scritte nella forma “normale” ax^2+bx+c=0, la formula risolutiva è quella in cui compare la radice quadrata e che Saxel ricorda a memoria: “Meno b più o meno radice….”
3. Le equazioni di terzo grado sono state risolte in modo quasi generale da Scipione dal Ferro (1465-1526), Niccolò Fontana detto Tartaglia (1500-1557) e Cardano. Nelle formule da essi trovate, non semplici, compaiono le radici cubiche .
La formula non è di semplice applicazione!!!!!
4. Ludovico Ferrari (1522-1565) trovò una formula per risolvere le equazioni di quarto grado: essa utilizza le radici quarte.
 Se clicchi qui trovi un risolutore di equazioni di 4° grado.
Tutto sembra portare alla conclusione a cui arriva Saxel: la formula per la risoluzione di equazioni di quinto grado contiene una radice quinta, quella per le equazioni di sesto grado utilizza radici seste e così via. E questa era la convinzione anche degli algebristi del XVI secolo.
Non è così: nel 1799 il matematico Paolo Ruffini, con una dimostrazione molto macchinosa, annunciò che le equazioni di quinto grado non erano risolubili per radicali. In modo indipendente , nel 1824 era giunto alla stessa conclusione il norvegese Niels Henrik Abel.
Ma fu il francese Évariste Galois che, nel 1830, generalizzò il teorema di Abel-Ruffini per tutte le equazioni di grado superiore al quarto.
Per queste ultime non è possibile scrivere una formula che, quantunque di difficile applicazione, permetta di esprimere sinteticamente le soluzioni dell’equazione, a partire dai suoi coefficienti e utilizzando le quattro operazini e le radici.
E’ questa impossibilità a turbare Travy (” …E’ scandaloso perchè esiste una realtà ribelle al linguaggio algebrico-logico,…..”): il modello algebrico ha dei limiti e si rivela insufficiente a risolvere tali equazioni.
Sicuramente ci potrà essere una nuova teoria “più ampia” in cui ripensare il problema; questo è proprio il modo di procedere della matematica.