Prodotti Notevoli
Esistono prodotti tra polinomi che si possono risolvere in modo rapido, utilizzando regole abbreviate della moltiplicazione, che prendono il nome di “PRODOTTI NOTEVOLI”.
1) Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
Calcoliamo il prodotto tra i seguenti binomi:
(a +b)(a-b) = a2 - ab + ab - b2
riducendo i termini simili otteniamo:
a2 - b2
Possiamo quindi dire che:
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del termine che non cambia di segno meno il quadrato di quello che cambia.
ESEMPI
(4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2
(-a +2b) (-a - 2b) = (-a)2 - (2b)2 = a2 - 4b2
(3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2
(2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2
Calcola sul quaderno:
@(2a + 7)(2a - 7)=
@(3a - 4b)(3a+ 4b) =
@(-2x - 3y)(-2x+3y) =
@(a2 + 3b)(a2 - 3b) =
@(5a - 3b)(5a+ 3b) =
@(5a2+2b2)(5a2 -2b2)=
@(-3a3+2b2)(-3a3-2b2)=
@(2a + 3b)( -2a + 3b) =
@
(7xy - 2x)( -7xy - 2x) =
2) Quadrato di un binomio
Ricordando la definizione di potenza, calcoliamo il seguente quadrato
(a+b)2 = (a+b) (a+b) =
= a2+ab+ab+b2 =
riducendo i termini simili otteniamo:
= a2+2ab+b2
Sempre applicando la definizione di potenza, calcoliamo il seguente quadrato:
(a-b)2 = (a-b) (a-b) =
= a2 -ab -ab+b2
riducendo i termini simili otteniamo:
= a2 -2ab+b2
Possiamo quindi dire che:
Il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo.
ESEMPI
(3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2
(-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2
(-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2
(3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2
(2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2
(2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2
Calcola sul quaderno:
(2a + 7)2 = @(3a - 4b)2 =
@(-2x - 3y)2 =
@(a2 + 3b)2 =
@(5a - 3b)2 =
@(5a2 + 2b2)2 =
@(-3a3 + 2b2)2 =
@(2ab - 3b)2 =
@(7xy - 2x)2 =
3) Cubo di un binomio
Ricordando la definizione di potenza, calcoliamo il seguente cubo:
riducendo i termini simili otteniamo:
(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) =
= (a2+2ab+b2) (a+b) =
= a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
e, in modo analogo, otteniamo:
(a-b)3 = (a-b)2 (a-b) =
= (a2-2ab+b2) (a-b) =
= a3-a2b-2 a2b+2ab2+ab2-b3=
= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Possiamo quindi dire che:
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo.
ESEMPI
(-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b
= -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3
(-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 =
= -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3
(2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 =
= 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3
Calcola sul quaderno:
@(2a + 1)3 =
@(3a - b)3 =
@(-2x - 3y)3 =
@(a2 + 3b)3 =
@(a - 3b)3 =
@(a2 + 2b2)3 =
@(-3a3 + 2b2)3 =
@(2ab - 3b)3 =
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