Generalità Introduttive
L'obiettivo della geometria analitica è quello di classificare e rappresentare rette, curve, enti geometrici in genere che soddisfano certe condizioni.
Ad ogni fatto geometrico corrisponde un fatto algebrico e ad ogni fatto algebrico corrisponde un fatto geometrico. Ciò significa che ad ogni punto, ad ogni retta, ad ogni curva, in sostanza a tutto ciò che si può rappresentare graficamente all'interno di assi cartesiani, corrisponde sempre e comunque una rappresentazione algebrica (coppia di numeri, equazione, etc…) che cambia ovviamente a seconda di ciò che si rappresenta.
Il primo a enunciare questo principio fu il francese Cartesio che disse che, tracciate due rette incidenti non necessariamente perpendicolari e individuato un punto P, se numeriamo le due rette e congiungiamo il punto a entrambe troviamo due valori, quello che troviamo sulla retta che va in senso verticale lo chiamiamo y0 e quello che troviamo sulla retta che va in senso orizzontale lo chiamiamo x0.
Quindi partendo da un entità geometrica (punto) abbiamo individuato 2 numeri, abbiamo cioè individuato il fatto algebrico (numeri) corrispondente al fatto geometrico (punto). Quanto appena esposto è valido per ogni entità algebrica. Per chiarire meglio quanto esposto in merito alla teoria di Cartesio, guardate la figura che segue:
In virtù di quanto detto, possiamo concludere che essendo le curve e le rette entità geometriche rappresentabili in assi cartesiani, ad ogni curva e ad ogni retta corrisponde un'equazione algebrica, ma come vedremo non sempre ad un'equazione algebrica corrisponde una curva o, meglio, capita spesso che sia necessario fissare delle condizioni affinchè ciò possa avvenire. Dire che una curva corrisponde a un'equazione significa che se prendiamo le coordinate x e y di un punto che appartiene alla curva e le sostituiamo alle incognite x e y dell'equazione che la rappresenta, vediamo che l'equazione che corrisponde alla curva si trasforma in identità, cioè ciò che sta a sinistra dell'uguale è uguale a ciò che sta a destra. Le equazioni corrispondenti a un fatto geometrico possono essere fornite in due forme:
- forma esplicita, ad esempio y=3x+5 (una delle due variabili è posta a sinistra dell'uguale ed è “esplicitata” in funzione dell'altra variabile; in generale, y=f(x));
- forma implicita, ad esempio x 2 +y 2 -5=0 (tutto a sinistra dell'uguale, nessuna variabile è esplicitata; in generale: f(x,y)=0).
LA RETTA
Il primo obiettivo da raggiungere a proposito della retta è quello di individuare qual è la sua equazione corrispondente.
EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA
L'equazione della retta passante per l'origine
Si consideri la seguente figura:
Osserviamo che l'angolo a è comune ai due triangoli disegnati, che hanno anche un altro angolo certamente uguale, cioè quello che si forma dall'intersezione del cateto opposto ad a con l'asse delle ascisse (x), infatti questo angolo è retto in entrambi i triangoli. Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo necessariamente 180°, è ovvio che se questi triangoli hanno due angoli uguali, anche il terzo dovrà esserlo. Quindi i due triangoli hanno tutti gli angoli uguali, si dice cioè che sono triangoli simili.
Caratteristica importante dei triangoli simili è che il rapporto tra i lati omologhi è costante, cioè, nel nostro caso: y1: x1 = y2: x2: Questo rapporto sempre costante tra il cateto verticale e quello orizzontale, cioè tra y e x, lo chiamiamo m: y/x = m.
Da cui si ricava:
y=mx che è l' equazione esplicita della retta passante per l'origine.
Questa equazione però non può essere usata per la retta passante per l'origine coincidente con l'asse delle ordinate (y). Vediamo perché. In questo caso la coordinata x (l'ascissa) di ogni punto della retta sarebbe 0, la coordinata y sarebbe un numero reale qualsiasi, quindi il rapporto tra y e x non si può fare (il denominatore è nullo). Quindi, la retta coincidente con l'asse delle ordinate non può essere rappresentata dall'equazione appena vista. Ma facciamo un passo indietro.
Abbiamo appurato che a questa categoria di rette (cioè alle rette che passano per l'origine e non coincidono con l'asse y) corrisponde l'equazione y=mx. Quindi certamente se per ogni punto che sta sulla retta, sostituiamo le sue coordinate all'equazione otteniamo un'identità: ovvero, tutti i punti che stanno sulla retta “soddisfano” l'equazione. Si può anche dimostrare il viceversa, cioè che data l'equazione y=mx, solo i punti che stanno sulla retta la soddisfano.
In conclusione, c'è corrispondenza biunivoca tra la retta e l'equazione y=mx: la retta è rappresentata dall'equazione e nessuna coppia di valori rappresentanti punti esterni alla retta può soddisfare l'equazione. (dal sito: www.studenti.it)
Se operiamo una traslazione di assi si ottiene y=mx+q che è l'equazione esplita di una retta generica del piano.
Abbiamo dimostrato che presa una qualunque retta del piano cartesiano ad essa corrisponde sempre un'equazione di primo grado. Viceversa, data un'equazione di primo grado nella forma implicita
la sua rappresentazione grafica è una retta.
Un'equazione di primo grado nelle variabili x ed y, nella forma implicita ax + by + c = 0 ha per rappresentazione grafica una retta r.
a=0 b ¹ 0 c = 0 la retta r coincide con l'asse x
a¹ 0 b = 0 c = 0 la retta r coincide con l'asse y
a=0 b¹ 0 c ¹ 0 la retta r è parallela all'asse x
a ¹ 0 b = 0 c ¹ 0 la retta r è parallela all'asse y
a ¹ 0 b ¹ 0 c = 0 la retta r passa per l'origine
a ¹ 0 b ¹ 0 c ¹ 0 la retta r incontra ciascuno degli assi in punti distinti dall'origine
Guarda gli esercizi svolti in questo sito e poi prova a risolvere i seguenti test1, test2 , test3
