Pubblicato il Novembre 9, 2008 di faraona

Da questo sito potete accedere ai test di matematica delle olimpiadi degli anni precedenti.

Vi esorto a svolgere prima il test e poi a controllare le soluzioni.

A voi interessano i test del biennio!!!!

Limite finito di una funzione per x tendente ad un valore finito.

Limite infinito di una funzione per x tendente ad un valore finito.

Limite finito di una funzione per x tendente ad un volore infinito.

Limite infinito di una funzione per x tendente ad un valore infinito.

Alla definizione di "limite" che abbiamo esposto si giunse, storicamente, molto tardi:

fin dall'antichità i matematici fatalmente incontrarono il concetto di limite nell'ambito di molte delle problematiche più interessanti, ma fu soltanto con un lavoro del matematico tedesco Heine, pubblicato nel 1872 (!), che apparve la definizione con l’ “epsilon-delta” usata al giorno d'oggi.

Heine si ispirò comunque alle lezioni dell'altro tedesco Weierstrass, mentre già il francese Cauchy (1789-1857) aveva brillantemente e abbondantemente lavorato, pur senza riuscire ad evitare qualche carenza di rigore, sulla tematica del “limite”.

L'Ottocento è caratterizzato, in generale, da un lavoro di ricerca sui fondamenti dell'analisi infinitesimale (concetto di numero reale, di limite, di derivata, di integrale) ad opera di studiosi come Bolzano, Cauchy, Dedekind, Cantor, Weierstrass.

Prova a risolvere questi esercizi     e aprire qualche link relativo ai contenuti trattati di questo sito e questi altri controllando i risultati con l'ausilio del software Derive.

Qui, invece, trovate esercizi  relativi al calcolo degli asintoti verticali di funzioni.

Data una funzione   y=f(x)   si dice campo di esistenza o dominio l'insieme dei valori della x (variabile indipendente) per i quali la y è definita e calcolabile. Il corrispondente insieme dei valori della y (variabile dipendente) si dice codominio. C.E.= { x R | y = f(x) } 

Campo di esistenza / Dominio di una funzione reale di variabile reale

Esercizi con risultati

Molte immagini quotidiane offrono indicazioni sulle proprietà geometriche degli oggetti e dell’ambiente che ci circonda.
I cartelli stradali sono importanti per la circolazione ed hanno il compito di avvertirci di ciò che troveremo sul nostro cammino……

…….che cosa indica questo segnale stradale?
Si tratta di un segnale che indica discesa pericolosa, e il codice della strada indica di rallentare l’andatura.
Ma di quanto scenderà la strada?
Il valore indicato nel cartello rappresenta la misura della pendenza della carreggiata rispetto a un piano orizzontale.
Tale pendenza è calcolata come rapporto percentuale tra il dislivello e l’avanzamento orizzontale corrispondente. Nel nostro caso, il valore 10% indica che la strada si abbassa di 10 metri mentre si procede orizzontalmente per 100 metri.
Dal punto di vista geometrico la pendenza è il rapporto tra i cateti (AC e AB) del triangolo rettangolo che ha come ipotenusa (CB) la strada.

Si utilizza la stessa definizione di pendenza quando si ha a che fare con una carreggiata in salita, per la quale esiste il cartello corrispondente, salita ripida.

Il valore 10% indica che ogni 100 metri che si percorrono in orizzontale, si sale di 10 metri.

Si può interpretare il concetto di pendenza secondo la geometria analitica del piano cartesiano.
Se facciamo coincidere l’asse delle ascisse con un piano orizzontale, la direzione della strada può essere rappresentata da una retta.
Il valore assoluto del coefficiente angolare di tale retta costituisce così la pendenza della carreggiata.
Clicca su segnale stradale e apri il file segnale stradale.html . E’ un file di Geogebra che mostra un cartello con la pendenza del 10%. Tale pendenza è rappresentata graficamente dalla retta di equazione y = -(10/100)x o (y = -0.1x). Il valore assoluto del coefficiente angolare, cioè 10/100, dà la misura della pendenza della discesa.
Se muovi lo slider “a”, l’inclinazione della retta cambia e di conseguenza cambia la pendenza della discesa; se tale valore diventa zero, la strada è ” pianeggiante” e se “a” è positivo, la strada è in salita.

Prova a pensare e a rispondere alla seguente domanda:

Una salita del 100% e una discesa del 100% sono pareti verticali?

Lo studio delle curve mediante metodi algebrici ebbe inizio nel XVII secolo con le ricerche di P. Fermat (1601-1665) e soprattutto con l'importante trattato La Géométrie di R. Descartes(1596-1650), noto in Italia con il nome di Cartesio, che introdusse nella geometria il cosidetto "metodo delle coordinate", anche se il problema era stato affrontato anche in epoca antecedente.

«…ho applicato l’algebra dei moderni
alla geometria degli antichi e ho così trovato
 i fondamenti di una scienza meravigliosa».
                  ( Renè Descartes, 1596 - 1650)

Se F(x,y) è un polinomio, il luogo dei punti del piano le cui coordinate soddisfano l'equazione F(x,y) = 0 è detto curva algebrica. Il grado del polinomio è detto ordine della curva.

Le curve più semplici sono le rette che si rappresentano mediante equazioni implicite di primo grado nelle variabili x, y:

         ax + by + c = 0  con a, b, c Є R con a, b non entrambi nulli.

In questo sito trovate tutte le possibili rette che si ottengono al variare dei parametri: a, b, c .

Scorrendo la barra laterale avrete la possibilità di vedere il grafico di alcune rette (cliccate su "voglio vedere il grafico") e se cliccate su "visualizza flash su grafico della retta" c'è un programma che vi permette, scegliendo la forma implicita o quella esplicita, di tracciare il grafico.

Nel caso in cui   b ≠ 0 ,  l’equazione della retta può essere messa in forma esplicita :

       

Il parametro   m   si chiama coefficiente angolare della retta ed il parametro  p  si 
chiama ordinata all’origine.
Il coefficiente angolare   m  della retta ne rappresenta la pendenza e l'ordinata all'origine p rappresenta il punto d'intersezione della retta con l'asse delle y. 
Ovviamente la forma esplicita non rappresenta le rette del tipo   x = k  , ovvero le  rette parallele all’asse delle  y  e x = 0, l'asse delle y.

 Esercizi sulla trasformazione da una forma all'altra.

Come si disegna una retta ( scorri la barra laterale del sito).

Rette per un punto o fascio di rette o stella di rette

        

Le infinite rette che passano per il punto  P(x₀ , y₀ )  hanno la seguente equazione  
  y – y₀ = m (x – x₀) ,  m è il coefficiente angolare  e P₀ ha coordinate (x₀, y₀ )
Dim:

Scriviamo l'equazione esplita di una retta del piano: y = mx + q, imponiamo a tale retta il passaggio per P₀(x₀, y₀ ) e otteniamo y₀ = mx₀ + q. Sottraiamo membro a membro le due equazioni: y - y₀ = mx + q - (mx₀ + q) e, eliminando le parentesi, i termini opposti e mettendo in evidenza la m, perveniamo all'equazione: y – y₀ = m (x – x₀) c.v.d.
  

Retta per due punti.

        

La retta che passa per i punti    e    ha la seguente equazione :

        

I casi in cui la retta è parallela ad un asse coordinato non sono ovviamente contemplati 
in questa equazione in quanto i denominatori si annullerebbero.

Dim:

Scriviamo l'equazione di un fascio di rette passanti per A o per B: y – y₁ = m (x – x₁) (ho scelto il passaggio per A), quindi imponiamo il passaggio per l'altro punto y₂ – y₁ = m (x₂ – x₁), dividiamo membro a membro le due equazioni, semplifichiamo e perveniamo all'equazione:

Dalla relazione  y₂ – y₁ = m (x₂ – x₁), possiamo ricavare      

Quindi se conosciamo le coordinate di due punti, applicando la formula precedente troviamo il coefficiente angolare della retta senza trovare l'equazione della retta!!!!

Rette parallele.

        

Le rette di equazione    e   sono parallele quando vale la 
relazione :

        

in quanto le due rette hanno la stessa pendenza. Le rette parallele all’asse  Oy , non 
rappresentabili in forma esplicita, sono ovviamente parallele.

Rette perpendicolari.

        

Le rette di equazione     e    sono perpendicolari quando 
vale la relazione :

             cioè       m' = -1/m

(omettiamo la dimostrazione). Le rette parallele agli assi coordinati vanno ovviamente 
considerati a parte. Esse sono le rette   x = k  ed  y = k’  che sono naturalmente 
perpendicolari.

Distanza di un punto da una retta.

        

La distanza del punto   dalla retta   è :

        

Esercizio1 sulla retta

Test1 sulla retta

Test2 sulla retta

Test3 sulla retta

Test4 di allenamento sulla retta

Test5 sulla retta

Test6 sulla retta

Prova anche tu a costruire la retta di Eulero utilizzando il software Geogebra (il link per scaricarlo lo trovi nella sezione links).

Qui troverai la costruzione.(Dopo aver aperto la cartella "retta" clicca sul file "retta eulero.html")

Guarda questa presentazione in P.P.

I metodi di risoluzione

Trovare le soluzioni del sistema vuol dire trovare i valori delle due incognite che soddisfino entrambe le equazioni. Ci sono quattro metodi di risoluzione:

• Sostituzione
• Confronto
• Addizione e sottrazione o combinazione lineare
• Cramer

Metodo di sostituzione

Questo è il metodo concettualmente più semplice, ma talvolta antipatico da applicare. Si risolve un’equazione rispetto a un'incognita e si sostituisce l'espressione trovata nell’altra. Adesso abbiamo un’equazione in una sola incognita e possiamo risolverla. Forse con un esempio si chiarisce meglio.

Le soluzioni sono quindi x = –1 e y = 1.

Metodo di confronto

Questo metodo è analogo al precedente. Si avvale del principio che se a = b e b = c, allora a = c. Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile, e poi si pongono uguali i secondi membri. Risolviamo il sistema di prima con questo metodo.

Metodo di addizione o sottrazione o di riduzione

Questo metodo è concettualmente più difficile ma spesso risulta più semplice da applicare. Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti di un’incognita siano uguali nelle due equazioni. Per il principio di combinazione lineare, si può sostituire una delle due equazioni con la differenza fra le due equazioni. Mi spiego con un esempio.

Metodo di Cramer

Questo metodo non si può spiegare, perché è una conseguenza del calcolo matriciale. Però è comodo. È difficile da spiegare in teoria, spero che mi capirete con un esempio.

Si costruiscono tre determinanti di due righe per due colonne; il primo, Δ, contiene i coefficienti delle incognite; nel secondo, Δx, bisogna sostituire i coefficienti della x con il termine noto, e analogamente per Δy e y. In pratica:

Questi determinanti si calcolano in questo modo:

Quindi

Adesso abbiamo le soluzioni:

Quando un sistema ammette soluzioni?

Questo sistema generico ammette soluzioni se ; invece se il sistema è impossibile; in particolare se il sistema è indeterminato.

Quando le incognite e le equazioni non sono due

• Quando un sistema di primo grado ha più incognite che equazioni è indeterminato.
• Quando un sistema di primo grado ha più equazioni che incognite è normalmente impossibile, a meno che un’equazione non sia combinazione lineare delle altre; in tal caso si può eliminare un’equazione sovrabbondante e risolvere il sistema.
• I sistemi di tre equazioni in tre incognite si possono risolvere usando il metodo della sostituzione o il metodo di Cramer, ricordando che il calcolo dei determinanti di tre righe e tre colonne si esegue in questo modo (regola di Sarrus):

x = - Dx/D,       y = - Dy/ D      z = - Dz/D

Guarda questa presentazione   e   quest'altra. Clicca qui e trovi una pagina contenente un risolutore automatico che ti permette di trovare velocemente le soluzioni di un sistema di n equazione in m   incognite                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

CENNI STORICI

I primi approcci con matrici e determinanti furono inerenti allo studio di sistemi di equazioni lineari. I babilonesi ad esempio studiarono problemi con più equazioni lineari, di questi è infatti rimasta traccia in alcune tavole ritrovate.

Per esempio una tavola risalente al 300 a.C. conteneva un problema del genere:

Ci sono due campi, la cui area totale è di 1800 yards quadrate. Uno produce grano per 2/3 di bushel per yard quadrata mentre l'altro 1/2. Se il rendimento totale è di 1100 bushels, qual'è la dimensione di ciascun campo ?

Un altro reperto  contenente una matrice come strumento di risoluzione di sistemi lineari è cinese, scritto tra il 300 a.C. e il 200 d.C.. Nel testo compare anche il concetto di determinante (per una matrice 2 per 2). In Occidente, fu Leibniz a sviluppare la teoria nel 1693, ampliata successivamente da Cramer, che presentò l'algoritmo ora noto come regola di Cramer nel 1693. Successivamente Gauss e il geodeta Wilhelm Jordan svilupparono l'algoritmo di Gauss-Jordan nel XIX secolo.

Il termine "matrice" fu usato inizialmente nel 1848 da Sylvester. Cayley, Hamilton, Grassmann, Frobenius e von Neumann sono alcuni dei matematici che hanno dato dei contributi importanti alla teoria delle matrici nella storia più recente.

INTRODUZIONE

Un modo molto comune di rappresentare e organizzare dati o informazioni è quello di ricorrere a delle tabulazioni.

Si pensi ad esempio alla tabella riportante l'orario delle lezioni relativo ad alcune discipline del secondo anno dell'ITC:

Quando le informazioni raccolte sono rappresentate da numeri si parla di matrici.

DEFINIZIONE DI MATRICE

Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne.

I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice .

La loro individuazione avviene attraverso la loro posizione di riga e colonna.

Il primo indice è l'indice di riga mentre il secondo è l'indice di colonna.

Ad esempio, il quadro di numeri

disposto su 3 righe e 5 colonne è una matrice di ordine 3 x 5.

L'elemento 8 essendo posizionato sulla prima riga e quarta colonna è indicato con

In generale gli elementi di una matrice A si indicano con il simbolo dove il primo indice i indica la riga di appartenenza mentre il secondo indice j precisa la colonna a cui l'elemento appartiene, così ad esempio si ha

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4

In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

A =

Clicca qui per ripassare le operazioni tra le matrici.