Il numero d’oro

La costruzione geometrica del Rettangolo Aureo esplicitata da Euclide è la seguente

Si disegna il quadrato (AEFD), si divide il segmento DF in due chiamando il punto medio A’. Si punta in A’ con il compasso tracciando un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Si disegna il segmento CB perpendicolare a DF, ed il segmento EB, perpendicolare a EF.
Il rettangolo ABCD è rettangolo aureo nel quale il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea

Costruzione del Segmento Aureo

Preso un segmento AB, lo dividiamo in un punto E tale che il rapporto tra l’intero segmento AB e la parte più lunga AE, sia uguale al rapporto tra quest’ultima e la parte più corta EB:

AB/AE = AE/EB

Il rapporto AB/AE = AE/EB è indicato con Φ ed è definito Rapporto Aureo o Divina Proporzione o numero d’Oro e il segmento AE si dice sezione aurea del segmento AB.

Dimostriamo quanto vale Φ.

AB * EB = AE^2 sostituiamo EB = (AB - AE)
AB * (AB - AE) = AE^2 moltiplichiamo
AB^2 - AB * AE = AE^2 portiamo AE^2 al primo membro
AB^2 - AB * AE - AE^2 = 0 dividiamo per AE^2
(AB/AE)^2 - (AB/AE) -1 = 0 sostituiamo AB/AE = Φ
Φ^2 - Φ - 1 = 0 equazione di secondo grado in Φ che risolviamo

= 1,6180339………

Si scarta ovviamente la soluzione negativa!
Tra le numerose proprietà del numero aureo, il “phi” è l’unico numero positivo che mantiene le stesse cifre decimali anche nel proprio reciproco, Infatti 1/1,618034.. = 0,618034…..
Il rapporto 1:1,618.. è stato, sin dai tempi più antichi, preso in considerazione per costruire opere la cui armonia é dettata dalla “divina proporzione” tanto da nominarla Sezione aurea.

Costruzione della sezione aurea con il software Geogebra

Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste la proporzione divina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose.
Dalla geometria all’architettura, dalla pittura alla musica, fino alla natura del creato possiamo osservare come tale rappresentazione corrisponda al rapporto pari a 1,618…(numero d’oro).

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Serie di Fibonacci

Alcune proprietà della serie di Fibonacci

 L'ellisse: sede del Parlamento Europeo  ( Architecture-Studio ) di Strasburgo.

Sito ufficiale: http://www.europarl.europa.eu/news/public/default_it.htm

L'ellisse è una curva piana di equazione (in forma canonica):

Se l'equazione dell'ellisse diventa
 

ossia una circonferenza di centro l'origine e raggio .

Guarda questa animazione.

L'ellisse, perciò,  è il luogo dei punti del piano le cui distanze dai due fuochi hanno somma costante, uguale a (dove a rappresenta il semiasse maggiore).

PROPRIETA' DELL'ELLISSE

L'ellisse possiede interessanti proprietà di carattere ottico. Infatti, supponiamo di avere un riflettore di forma ellittica. Se si pone una sorgente di luce in uno dei due fuochi, tutti i raggi riflessi passano per l'altro fuoco. Questo ci da inoltre, una spiegazione dei nomi dati a tali punti F, F'. Supponiamo adesso di essere in un ambiente di forma ellittica. Il suono emesso in uno dei due fuochi, anche se molto debole, si sente molto distintamente nell'altro fuoco. Infatti in entrambi i casi, sia le onde luminose che sonore, che sono riflesse dalle pareti percorrono tutte la stessa distanza e giungono contemporaneamente (in fase) all'altro fuoco.

Se vuoi approfondire, leggi qui.

Qui potrai trovare delle proposte di esercizi con soluzioni.

Qui e nelle pagine successive, troverai altri esercizi svolti.

Qui troverai una serie di esercizi da svolgere.

Qui c'è un test. Qui c'è un altro e qui un altro.

Il 1° di aprile ci sarà la visita guidata al museo Mateureka di Pennabilli. Intanto facciamo una visita virtuale del museo!!!

A Pennabilli vive e lavora Tonino Guerra dal 1989. Qui ha dato vita a numerose installazioni artistiche.

Qui potete trovare una presentazione di un progetto pluridisciplinare realizzato dall'attuale classe 3°B. Relativamente alla matematica troverete la descrizione della sua evoluzione fino al 500 d.C.

 Definizione

Un’equazione di II grado si dice parametrica quando i coefficienti dell’equazione sono letterali (ovvero non sono tutti numerici) e tali lettere (e non l’incognita) devono soddisfare determinate condizioni.

Si studiano i valori che tali lettere, dette parametri, devono avere per rendere vere le condizioni richieste dall’esercizio.

  RICHIESTA                                          CONDIZIONI

Le origini della festa dell'8 Marzo risalgono al lontano 1908, quando, pochi giorni prima di questa data, a New York, le operaie dell'industria tessile Cotton scioperarono per protestare contro le terribili condizioni in cui erano costrette a lavorare. Lo sciopero si protrasse per alcuni giorni, finché l'8 marzo il proprietario Mr. Johnson, bloccò tutte le porte della fabbrica per impedire alle operaie di uscire. Allo stabilimento venne appiccato il fuoco e le 129 operaie prigioniere all'interno morirono arse dalle fiamme. Successivamente questa data venne proposta come giornata di lotta internazionale, a favore delle donne, da Rosa Luxemburg, proprio in ricordo della tragedia.  Continua a leggere 

La mimosa, invece, come simbolo della festa della donna, è stata scelta in Italia nel 1946. In molti paesi si regalano fiori alle donne per l’8 marzo, ma è solo in Italia che l’associazione della mimosa con la festa della donna è diventata indissolubile. Pianta dai fiori gialli, delicati e profumati, la mimosa fiorisce in Italia proprio in questo periodo. Il suo aspetto fragile cela vitalità e forza: per questo è diventata simbolo della femminilità.

Sotto l’alto Patronato del Presidente della Repubblica, la manifestazione, promossa dalla Provincia Roma, prodotta dalla Fondazione Musica per Roma, con la direzione scientifica di Piergiorgio Odifreddi, si svolgerà a New York il 10 e 11 marzo e a Roma dal 19 al 22 marzo.

S

Salvare il mondo con i numeri è il fil rouge dei due appuntamenti: a New York il premio Nobel per l’economia Daniel Kahneman ci parlerà del ragionamento statistico, il re dei frattali Benoit Mandelbrot del disordine dei mercati, il premio Nobel per l’economia John Nash e il grande matematico Harold Kuhn ricostruiranno le origini della teoria dei giochi, il premio Nobel per la fisica Shelly Glashow aprirà la sessione con una brillante lezione sull’irragionevole efficacia della matematica e infine le affascinanti suggestioni di Brian Greene con l’eleganza dell’universo matematico.
A Roma, saranno presenti: le medaglie Fields per la matematica Edward Witten, Timothy Gowers, Vaughan Jones, il premio Nobel per la fisica Arno Penzias, il grande fisico italiano Nicola Cabibbo, presidente della Pontificia Accademia delle Scienze, i premi Nobel per la chimica Roald Hoffmann e Richard Ernst, i premi Nobel per l’economia Robert Mundell, John Nash e Thomas Schelling, lo scrittore Paolo Giordano Premio Strega 2008.
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Potete consultare anche il calendario degli incontri!!!!

Schema riassuntivo: I PASSI PER LO STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

•        è pari:        e quindi ha grafico simmetrico rispetto all'asse y

•     dispari:         e quindi ha grafico simmetrico rispetto all' origine

•        oppure né pari né dispari

        Nel caso la funzione sia pari o dispari, nelle varie fasi dello studio potremo e dovremo tenere presente la simmetria riscontrata; potremmo addirittura decidere di studiare la funzione soltanto per  e poi completarne il grafico per simmetria (la convenienza di procedere in questo modo dipende dalle nostre preferenze, e dalla particolare funzione di volta in volta considerata).

5) Ricercare gli eventuali asintoti obliqui

 

         Osserviamo che, evidentemente, avrà senso ricercare un eventuale asintoto obliquo per la funzione y = f(x)  soltanto se si è constatato che la funzione tende a infinito quando x tende a infinito.

 

          Ricordiamo ancora il Teorema sul quale si basa il procedimento di ricerca degli eventuali asintoti obliqui.

 

Teorema:

La retta obliqua  y = mx + q è asintoto obliquo per la funzione  y = f(x)  se e solo se

a)       esiste finito e diverso da zero il            

b)  esiste finito il

Ricercare (utilissimo!) le eventuali intersez. del grafico con gli asintoti (obliqui od orizzontali).

6) a) Calcolare la derivata prima  y’ = f ' (x).  Poi:

Risolvere l'equazione  f ' (x) = 0 per trovare i cosiddetti "punti stazionari"

( = punti in cui il grafico ha tangente orizzontale: teorema di Rolle).

 

   Studiare il segno della derivata prima con la disequazione  f ' (x)> 0

stabilendo così gli intervalli in cui la funzione è

crescente ( y ' > 0 implica retta tangente in salita, funzione crescente)     decrescente ( y ' < 0 implica retta tang. in discesa, funz. decrescente)

e determinando i punti di massimo relativo e minimo relativo interni al dominio,

nonché i punti di flesso orizzontale (ascendente o discendente).

  b) Calcolare la derivata seconda  y’’= f '' (x).

 

Risolvere l'equazione  f '' (x) = 0.

Quest’ultima fornisce, in generale, le ascisse dei punti di flesso;ricordiamo però che

•        non tutti i punti in cui si annulla la y” risultano poi di flesso;
•         e, d’altra parte (caso non frequentissimo, ma possibile: basti pensare ai flessi verticali),

si possono avere pure dei flessi in cui la y’’ non si annulla.

 Studiare il segno della derivata seconda, mediante la disequazione f '' (x) > 0.

 

Tale studio permetterà di stabilire gli intervalli in cui la funzione è concava e quelli in cui è convessa:

y'' > 0 implica y' crescente, quindi y concava y'' < 0 implica y' decrescente, quindi y convessa

7) disegnare il grafico

Guarda e ascolta lo studio di alcune funzioni

Qui troverai un test sullo studio di una funzione 

Qui un altro test