Lo studio delle curve mediante metodi algebrici ebbe inizio nel XVII secolo con le ricerche di P. Fermat (1601-1665) e soprattutto con l'importante trattato La Géométrie di R. Descartes(1596-1650), noto in Italia con il nome di Cartesio, che introdusse nella geometria il cosidetto "metodo delle coordinate", anche se il problema era stato affrontato anche in epoca antecedente.

«…ho applicato l’algebra dei moderni
alla geometria degli antichi e ho così trovato
 i fondamenti di una scienza meravigliosa».
                  ( Renè Descartes, 1596 - 1650)

Se F(x,y) è un polinomio, il luogo dei punti del piano le cui coordinate soddisfano l'equazione F(x,y) = 0 è detto curva algebrica. Il grado del polinomio è detto ordine della curva.

Le curve più semplici sono le rette che si rappresentano mediante equazioni implicite di primo grado nelle variabili x, y:

         ax + by + c = 0  con a, b, c Є R con a, b non entrambi nulli.

In questo sito trovate tutte le possibili rette che si ottengono al variare dei parametri: a, b, c .

Scorrendo la barra laterale avrete la possibilità di vedere il grafico di alcune rette (cliccate su "voglio vedere il grafico") e se cliccate su "visualizza flash su grafico della retta" c'è un programma che vi permette, scegliendo la forma implicita o quella esplicita, di tracciare il grafico.

Nel caso in cui   b ≠ 0 ,  l’equazione della retta può essere messa in forma esplicita :

       

Il parametro   m   si chiama coefficiente angolare della retta ed il parametro  p  si 
chiama ordinata all’origine.
Il coefficiente angolare   m  della retta ne rappresenta la pendenza e l'ordinata all'origine p rappresenta il punto d'intersezione della retta con l'asse delle y. 
Ovviamente la forma esplicita non rappresenta le rette del tipo   x = k  , ovvero le  rette parallele all’asse delle  y  e x = 0, l'asse delle y.

 Esercizi sulla trasformazione da una forma all'altra.

Come si disegna una retta ( scorri la barra laterale del sito).

Rette per un punto o fascio di rette o stella di rette

        

Le infinite rette che passano per il punto  P(x₀ , y₀ )  hanno la seguente equazione  
  y – y₀ = m (x – x₀) ,  m è il coefficiente angolare  e P₀ ha coordinate (x₀, y₀ )
Dim:

Scriviamo l'equazione esplita di una retta del piano: y = mx + q, imponiamo a tale retta il passaggio per P₀(x₀, y₀ ) e otteniamo y₀ = mx₀ + q. Sottraiamo membro a membro le due equazioni: y - y₀ = mx + q - (mx₀ + q) e, eliminando le parentesi, i termini opposti e mettendo in evidenza la m, perveniamo all'equazione: y – y₀ = m (x – x₀) c.v.d.
  

Retta per due punti.

        

La retta che passa per i punti    e    ha la seguente equazione :

        

I casi in cui la retta è parallela ad un asse coordinato non sono ovviamente contemplati 
in questa equazione in quanto i denominatori si annullerebbero.

Dim:

Scriviamo l'equazione di un fascio di rette passanti per A o per B: y – y₁ = m (x – x₁) (ho scelto il passaggio per A), quindi imponiamo il passaggio per l'altro punto y₂ – y₁ = m (x₂ – x₁), dividiamo membro a membro le due equazioni, semplifichiamo e perveniamo all'equazione:

Dalla relazione  y₂ – y₁ = m (x₂ – x₁), possiamo ricavare      

Quindi se conosciamo le coordinate di due punti, applicando la formula precedente troviamo il coefficiente angolare della retta senza trovare l'equazione della retta!!!!

Rette parallele.

        

Le rette di equazione    e   sono parallele quando vale la 
relazione :

        

in quanto le due rette hanno la stessa pendenza. Le rette parallele all’asse  Oy , non 
rappresentabili in forma esplicita, sono ovviamente parallele.

Rette perpendicolari.

        

Le rette di equazione     e    sono perpendicolari quando 
vale la relazione :

             cioè       m' = -1/m

(omettiamo la dimostrazione). Le rette parallele agli assi coordinati vanno ovviamente 
considerati a parte. Esse sono le rette   x = k  ed  y = k’  che sono naturalmente 
perpendicolari.

Distanza di un punto da una retta.

        

La distanza del punto   dalla retta   è :

        

Esercizio1 sulla retta

Test1 sulla retta

Test2 sulla retta

Test3 sulla retta

Test4 di allenamento sulla retta

Test5 sulla retta

Test6 sulla retta

Prova anche tu a costruire la retta di Eulero utilizzando il software Geogebra (il link per scaricarlo lo trovi nella sezione links).

Qui troverai la costruzione.(Dopo aver aperto la cartella "retta" clicca sul file "retta eulero.html")

Guarda questa presentazione in P.P.