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Guarda questo esempio e il relativo svolgimento.
Qui ho trovato un programma che ti permette di svolgere il problema passo passo dopo aver introdotto i dati numerici.
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CENNI STORICI
I primi approcci con matrici e determinanti furono inerenti allo studio di sistemi di equazioni lineari. I babilonesi ad esempio studiarono problemi con più equazioni lineari, di questi è infatti rimasta traccia in alcune tavole ritrovate.
Per esempio una tavola risalente al 300 a.C. conteneva un problema del genere:
Ci sono due campi, la cui area totale è di 1800 yards quadrate. Uno produce grano per 2/3 di bushel per yard quadrata mentre l'altro 1/2. Se il rendimento totale è di 1100 bushels, qual'è la dimensione di ciascun campo ?
Un altro reperto contenente una matrice come strumento di risoluzione di sistemi lineari è cinese, scritto tra il 300 a.C. e il 200 d.C.. Nel testo compare anche il concetto di determinante (per una matrice 2 per 2). In Occidente, fu Leibniz a sviluppare la teoria nel 1693, ampliata successivamente da Cramer, che presentò l'algoritmo ora noto come regola di Cramer nel 1693. Successivamente Gauss e il geodeta Wilhelm Jordan svilupparono l'algoritmo di Gauss-Jordan nel XIX secolo.
Il termine "matrice" fu usato inizialmente nel 1848 da Sylvester. Cayley, Hamilton, Grassmann, Frobenius e von Neumann sono alcuni dei matematici che hanno dato dei contributi importanti alla teoria delle matrici nella storia più recente.
INTRODUZIONE
Un modo molto comune di rappresentare e organizzare dati o informazioni è quello di ricorrere a delle tabulazioni.
Si pensi ad esempio alla tabella riportante l'orario delle lezioni relativo ad alcune discipline del secondo anno dell'ITC:
| Lunedì | Martedì | Mercoledì | Giovedì | Venerdì | Sabato | |
| Italiano | 2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| Matematica | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| Scienze Mat. e Nat. | 1 | 2 | 1 | 2 | 0 | 1 |
Quando le informazioni raccolte sono rappresentate da numeri si parla di matrici.
Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne.
I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice .
La loro individuazione avviene attraverso la loro posizione di riga e colonna.
Il primo indice è l'indice di riga mentre il secondo è l'indice di colonna.
Ad esempio, il quadro di numeri
![[Maple OLE 2.0 Object]](http://math.ec.unipi.it/algebra/matric/images/dfmatr1.gif)
disposto su 3 righe e 5 colonne è una matrice di ordine 3 x 5.
L'elemento 8 essendo posizionato sulla prima riga e quarta colonna è indicato con ![[Maple Math]](http://math.ec.unipi.it/algebra/matric/images/dfmatr2.gif){kind=small}
In generale gli elementi di una matrice A si indicano con il simbolo ![[Maple Math]](http://math.ec.unipi.it/algebra/matric/images/dfmatr3.gif){kind=small}
dove il primo indice i indica la riga di appartenenza mentre il secondo indice j precisa la colonna a cui l'elemento appartiene, così ad esempio si ha
![[Maple Math]](http://math.ec.unipi.it/algebra/matric/images/dfmatr4.gif){kind=small}
= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4
In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con
A = ![[Maple OLE 2.0 Object]](http://math.ec.unipi.it/algebra/matric/images/dfmatr5.gif)
Clicca qui per ripassare le operazioni tra le matrici.
Su questo sito troverete alcuni elementi di statistica.
Alcuni esempi di calcolo dei vari tipi di medie: aritmetiche,armoniche, geometriche e quadratiche.
Interessante anche questo sito per il calcolo della varianza di una distribuzione statistica.
In questo sito troverete un po' di teoria sulle matrici e le regole per calcolare i determinanti delle matrici di ordine 1, 2 ,3.
Determinante di una matrice di ordine n
In generale ad ogni matrice quadrata è possibile associare un numero reale detto determinante, indicato in generale con il simbolo |A| oppure det A, che permette di stabilire l'invertibilità o meno di una matrice.
Il calcolo di questo numero è effettuato tramite il cosiddetto sviluppo di Laplace che può essere eseguito rispetto ad una qualsiasi riga oppure rispetto ad una qualsiasi colonna.
Sviluppo di Laplace (rispetto alla riga i-esima)
La formula dello sviluppo di Laplace rispetto alla riga i-ma di una matrice A di ordine n è la seguente:
dove Aij è la sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-ma riga e la j-ma colonna.
Il determinante det Aij è detto minore complementare dell'elemento aij ;
il prodotto (-1)i+jdet Aij è detto complemento algebrico .
In base a tale nomenclatura possiamo dire che:
Primo teorema di Laplace: il determinante di una matrice quadrata A è pari alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.
( Dal sito http://math.ec.unipi.it/algebra/matric/invmat1.htm )
La matrice inversa
In questo sito troverete il calcolo della matrice inversa passo passo.
In questo sito troverete un'ampia teoria e degli schemi sul calcolo della matrice inversa e la risoluzione del problema con il software Derive.
Su questo sito troverete una trattazione sintetica del calcolo matriciale
Risolvete gli esercizi proposti sul calcolo matriciale.
Su questo link troverete un esempio interessante di calcolo matriciale con Excel
Provate a risolvere con Excel gli esercizi proposti precedentemente.
L'algebra elementare delle matrici fa parte ormai delle conoscenze matematiche richieste nei più svariati campi:
§ in Geometria si utilizzano le matrici di una trasformazione;
§ in Algebra, le matrici, completa e incompleta, di un sistema lineare;
§ in Ricerca Operativa, le matrici dei pagamenti;
§ nella teoria dei grafi (uno strumento per l'indagine economica), le matrici di adiacenza, di incidenza e di connessione.
Il termine «matrice» fu introdotto nel 1850 da I. SYLVESTER (1814-1897) per designare una disposizione rettangolare di numeri e, per qualche tempo, le matrici furono considerate come semplici tabelle.
Nel 1853, HAMILTON(1805-1865) le definì con maggior precisione nelle sue «Letture sui quaternioni», mentre il calcolo geometrico di GRASSMANN (1809-1877) e la teoria dell'equipollenza utilizzarono questo concetto più o meno esplicitamente.
Fu tuttavia nel 1858 che CAYLEY (1821-1895) stabilì la definizione e le proprietà fondamentali delle matrici. Da allora il successo di questo nuovo algoritmo e del calcolo ad esso associato fu rapido, prima nella scuola inglese (con CLIFFORD(1845-1879) e SYLVESTER) e poi in America, dove B. PEIRCE(1809-1880) lo utilizzò nella sua teoria delle algebre lineari associative. Nel XX secolo, l'importanza del calcolo matriciale divenne sempre maggiore, grazie alla sistemazione dell'algebra lineare e all'estensione del dominio di questa scienza.
Per quanto concerne le applicazioni che la teoria delle matrici ha avuto nel nostro secolo in campi diversi da quello strettamente matematico, va ricordato che nel 1925 HEISEMBERG trovò nell'algebra delle matrici lo strumento adatto per realizzare la sua celebre sistemazione analitica della Meccanica, dando origine appunto alla meccanica delle matrici.
Invece lo studio dei determinanti delle matrici fu iniziato nella seconda metà del sec. XVII.
In Giappone Seki KŌWA e in Europa G.W. LEIBNIZ(1646-1716) furono i primi a utilizzare, nella risoluzione di sistemi di equazioni lineari a più incognite, un algoritmo equivalente ai nostri «determinanti» attuali.
Notazioni analoghe, introdotte nel 1750 da G. CRAMER(1704-1752), furono utilizzate sempre più frequentemente nella seconda metà del secolo, in particolare da E. BÉZOUT(1730-1783), A.T. WANDERMONDE, P.S. LAPLACE(1749- 1827), J.L. LAGRANGE(1736-1813), e altri.
Il termine «determinante» nel 1801 è dovuto a C.F. GAUSS (1777-1855) e un'esposizione completa delle sue proprietà fondamentali, nel 1815, a A.L. CAUCHY (1789-1857).
Questa denominazione è diventata, però, d'uso comune soltanto dopo i lavori fondamentali di C. JACOBI e di A. CAYLEY (1841), a partire dai quali la teoria dei determinanti ha veramente preso un posto stabile nelle scienze.
In questo sito troverete una esercitazione di geometria due sul calcolo dei massimi e minimi vincolati. A voi non interessa la prima parte!!!!!!
Qui troverete una raccolta di esercizi sui massimi e minimi vincolati. (Sono esercitazioni di Analisi 2)
Qui troverete due esercizi svolti sul calcolo dei massimi e sui minimi vincolati.
Qui troverete la teoria (a livello approfondito - universitrio- ) sul calcolo dei massimi e minimi vincolati. Se incontrate difficoltà, chiedete spiegazioni.
Qui troverete una trattazione e alcuni esercizi sul calcolo dei massimi e minimi vincolati. C'è qualcosa di diverso per quanto riguarda la matrice hessiana orlata.
In questo sito ho trovato delle dispense sulle funzioni di due variabili.
A me sono sembrate molto esplicative, soprattutto per ciò che riguarda le rappresentazioni grafiche.
Qui ho trovato testi di esrcizi con le relative soluzioni.
Su questo sito trovate alcune considerazioni importanti sulla derivabilità di funzioni di due variabili.
Sono esercitazioni di Analisi 2 di un corso universitario
![[Maple Math]](http://math.ec.unipi.it/algebra/matric/images/invmat35.gif)
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